克拉默法则

Cramer's Rule

是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组。
对于多于两个或三个方程的系统，在计算上非常低效，它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。

假设线性方程组表示为：

A x = b \Leftrightarrow {\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

\begin{aligned} x & = {(\begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{array})}^{T} \\ b & = {(\begin{array}{c} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{array})}^{T} \end{aligned}

系统矩阵的行列式为：

\begin{array}{r} | A | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

将解向量替换对应列得到的矩阵的行列式为：

\begin{array}{r} | A_{i} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{array} | \end{array}

求方程组中的 $x_{i}$ 元素，

也即：

\begin{array}{r} x_{i} = \frac{| A_{i} |}{| A |} = \frac{| \begin{array}{c} a_{11} & \dots & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & b_{n} & \dots & a_{n n} \end{array} |}{| \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{2 i} & \dots & a_{n n} \end{array} |} \end{array}

AI 结构化补充（2026-05-02）

Cramer's Rule

克拉默法则是用行列式显式求解方阵线性方程组的方法。设

A x = b, A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}] \in F^{n \times n},

其中 $a_{j}$ 是 $A$ 的第 $j$ 列。若 $det A \neq 0$ ，令

B_{j} = [a_{1} \dots a_{j - 1} b a_{j + 1} \dots a_{n}],

即把 $A$ 的第 $j$ 列替换为右端向量 $b$ 后得到的矩阵，则唯一解 $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ 满足

x_{j} = \frac{det B_{j}}{det A}, j = 1, \dots, n .

这个公式只适用于方程数与未知数相等、且系数矩阵可逆的情形。若 $det A = 0$ ，分母为零，方程组可能无解或有无穷多解，不能用克拉默法则直接求解。

核心想法是把 $x$ 放入单位矩阵的一列，再利用行列式的乘法公式。先看第一列：把 $I$ 的第一列替换为 $x$ ，所得矩阵的行列式就是 $x_{1}$ 。左乘 $A$ 后，第一列变成

A x = b,

其余列仍是 $A$ 的对应列，因此

A (\begin{matrix} x_{1} & 0 & \dots & 0 \\ x_{2} & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n} & 0 & \dots & 1 \end{matrix}) = [b a_{2} \dots a_{n}] = B_{1} .

两边取行列式：

(det A) x_{1} = det B_{1}, x_{1} = \frac{det B_{1}}{det A} .

把同样的替换放在第 $j$ 列，就得到一般公式 $x_{j} = det B_{j} / det A$ 。

求解

{\begin{cases} 3 x_{1} + 4 x_{2} = 2, \\ 5 x_{1} + 6 x_{2} = 4. \end{cases}

这里

A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) .

三个行列式分别是

det A = | \begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} | = 18 - 20 = - 2,

det B_{1} = | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix} | = 12 - 16 = - 4, det B_{2} = | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} | = 12 - 10 = 2.

也就是 $det A = - 2$ ， $det B_{1} = - 4$ ， $det B_{2} = 2$ 。

因此

x_{1} = \frac{- 4}{- 2} = 2, x_{2} = \frac{2}{- 2} = - 1.

直接检验：

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) .

克拉默法则把解的每个坐标写成两个行列式的比值。分母 $det A$ 衡量原列组形成的有向体积是否非零；分子 $det B_{j}$ 则把第 $j$ 个方向换成右端 $b$ 后重新测量这个有向体积。

它还解释了逆矩阵的余子式公式的来源。若要求 $A^{- 1}$ ，就是同时求解

A x_{1} = e_{1}, A x_{2} = e_{2}, \dots, A x_{n} = e_{n} .

当右端是单位矩阵的某一列时，克拉默法则分子中的列替换行列式会退化为 $A$ 的代数余子式。这就是逆矩阵元素最终由余子式给出的原因。

对 $n \times n$ 系统，克拉默法则需要计算 $n + 1$ 个行列式：一个 $det A$ 和 $n$ 个 $det B_{j}$ 。若每个行列式都按排列“大公式”展开，每个有 $n!$ 项，总项数达到

(n + 1) n! = (n + 1)! .

因此它不是大型数值线性方程组的高效算法。实际数值求解通常使用消元、分解或迭代方法；克拉默法则的价值主要在于低阶手算、显式符号公式和理论证明。

克拉默法则位于线性方程组、行列式与逆矩阵之间：它从 $A x = b$ 出发，用列替换行列式表达 $x = A^{- 1} b$ 的各个分量。它依赖 $det A \neq 0$ ，所以也直接服务于可逆矩阵与奇异矩阵的分界。